Anem de construcció, de construcció de números grans, molt grans. I ho farem d’una manera que sembla prou senzilla. Sempre m’agrada recordar una frase: “La bellesa es troba en la senzillesa” que em van dir quan estava a segon de carrera.
Com hem de començar per algun lloc, ho farem per l’1 que sempre és un bon inici. A més, l’1 acostuma a ser el primer de molts, mirem per exemple els nombres poligonals o nombres amb forma:
Però no és el primer en un conjunt numèric molt especial, de fet, d'aquest, ni tan sols en forma part. Estem parlant dels nombres primers: 2,3,5,7,11,...
Sempre s’ha debatut si l’1 és un nombre primer o no, en aquest vídeo de numberphile en podem veure una explicació a partir del
Si el 100 el multipliquem per 10, i fem l’operació 10·10·10 obtindrem el 1000. Ara ja estem parlant de volums, 1m3 és el volum d’un cub que té un metre d’aresta.
- Triangulars: 1, 3, 6, 10…
- Quadrats: 1, 4, 9, 16...
- Pentagonals: 1, 5, 12, 22...
Però no és el primer en un conjunt numèric molt especial, de fet, d'aquest, ni tan sols en forma part. Estem parlant dels nombres primers: 2,3,5,7,11,...
Sempre s’ha debatut si l’1 és un nombre primer o no, en aquest vídeo de numberphile en podem veure una explicació a partir del
Teorema fonamental de l’aritmètica
Cada nombre positiu es pot escriure com a producte de nombres primers de manera única. Aquesta expressió s’anomena factorització
Euclídes el va demostrar.
Si ens interessa trobar nombres primers, el sedàs o garbell d’Eratòstenes és un mètode excel·lent. Podem interaccionar amb aquesta animació feta amb Geogebra: https://www.geogebra.org/m/T42nzrZk
Podem assajar en la següent imatge:
Aquests números s’utilitzen avui en dia en molts llocs, però sobretot, en la seguretat de les xarxes informàtiques i de comunicació. Sempre apareixen quan escrivim la contrasenya per registrar-nos a qualsevol lloc, d’aquí la importància dels nombres primers en la seguretat de la xarxa.
Joc: Podem construir nombres primers i jugar. El joc consisteix a formar nombres primers amb els resultats obtinguts en llançar tres daus cúbics, els que estan numerats de l’1 al 6. Guanya la persona que aconsegueix construir el nombre primer més gran. No cal dir que haurem de recordar els criteris de divisibilitat.
Com podem fer el número 1 molt més gran? Doncs encara que sembli estrany li haurem d’afegir un 0. Aquest el col·locarem a la seva dreta per obtenir un 10. El 10 és un número 10 vegades més gran que l’1.
Podem tenir 10 vegades més coses o ser 10 vegades més llarg, o més alt. Podem comparar! I si podem comparar, podem començar a mesurar.
Però amb 1 i 0 també podem construir un sistema de numeració diferent, el sistema binari que només utilitza 1 i 0: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111,... que tenen eles valors 1,2,3,4,5,6,7,8,...
Aquest sistema s’utilitza per representar situacions on només hi ha dos estats, veritat o fals, obert o tancat, que és la base de tot el que és digital que tenim en la nostra vida quotidiana: La fotografia, Internet, per emmagatzemar imatges, etc.
En aquest sistema de numeració 1 + 1 = 10.
Si ens interessa trobar nombres primers, el sedàs o garbell d’Eratòstenes és un mètode excel·lent. Podem interaccionar amb aquesta animació feta amb Geogebra: https://www.geogebra.org/m/T42nzrZk
Podem assajar en la següent imatge:
Aquests números s’utilitzen avui en dia en molts llocs, però sobretot, en la seguretat de les xarxes informàtiques i de comunicació. Sempre apareixen quan escrivim la contrasenya per registrar-nos a qualsevol lloc, d’aquí la importància dels nombres primers en la seguretat de la xarxa.
Joc: Podem construir nombres primers i jugar. El joc consisteix a formar nombres primers amb els resultats obtinguts en llançar tres daus cúbics, els que estan numerats de l’1 al 6. Guanya la persona que aconsegueix construir el nombre primer més gran. No cal dir que haurem de recordar els criteris de divisibilitat.
Com podem fer el número 1 molt més gran? Doncs encara que sembli estrany li haurem d’afegir un 0. Aquest el col·locarem a la seva dreta per obtenir un 10. El 10 és un número 10 vegades més gran que l’1.
Podem tenir 10 vegades més coses o ser 10 vegades més llarg, o més alt. Podem comparar! I si podem comparar, podem començar a mesurar.
Aquest sistema s’utilitza per representar situacions on només hi ha dos estats, veritat o fals, obert o tancat, que és la base de tot el que és digital que tenim en la nostra vida quotidiana: La fotografia, Internet, per emmagatzemar imatges, etc.
En aquest sistema de numeració 1 + 1 = 10.
El següent repte matemàtic ens permet fer màgia a partir del sistema binari de numeració:
El sistema de numeració que utilitzem habitualment és de base 10, utilitzem unitats, desenes, 10 vegades la unitat, així 32 són 3 desenes (30) i 2 unitats. Els antics egipcis també utilitzaven un sistema de base 10, feien servir un símbol per l’1, un altre pel 10, i per comptar 32 feien 10+10+10+1+1=32
Toqueu el següent enllaç per accedir a una activitat amb el sistema de numeració egipci.
Podem fer número més gran encara si al 10 li afegim un altre 0, podeu endevinar on? Doncs sí, a la seva dreta. A això també li diem multiplicar per 10. Així obtenim el 100.
El 100 representa una quantitat 10 vegades més gran que 10, però també, una longitud 10 vegades més gran que el 10, i ens permet introduir una idea nova, l’àrea. Multiplicar ens és útil per tenir més coses, fer-les més llargues, i ara també ens serveix per veure l’àrea o la superfície que té un pla.
I també representa les centenes en el nostre sistema de numeració.
El 100 el podem escriure com a 10^2, la cinquena operació després de la suma, resta, multiplicació i divisió. El 10 s’escriu com a 10^1, i l’1 com 10^x? Si, la x=0 en aquest cas.
Amb el 100 podem tenir 100 coses, o corre 100 m com l’Usain Bolt, http://www.masinfografias.com/usain-bolt-infografias/ o viure en un pis de 100m2. Ja podem mesurar les àrees o les superfícies de les coses.
En base 10 un número de tres xifres com el 321 vol dir que està format per 3 centenes (10^2), 2 desenes (10^1) i una unitat (10^0). 321= 3·10^2 + 2·10^1 +1·10^0, així hem escrit el número 321 en forma, que no s’espanti ningú, polinomial.
El sistema binari, que només utilitza 1 i 0 com a xifres també pot construir qualsevol quantitat, en aquest cas com la base del sistema és 2, caldrà utilitzar més xifres i en lloc de 10 farem servir el 2.
321 = 1·256 + 1·64+ 1= 1·2^8 + 1·2^6 + 1·2^0 Escrit en binari seria 101000001.
Podem saber-ne més sobre sistemes de numeració i la seva relació amb la informàtica a http://www.xtec.cat/~voliu/sistemes_numeracio/index.html
En aquest vídeo podem veure el funcionament d'una màquina que permet sumar números escrits en sistema binari.
Toqueu el següent enllaç per accedir a una activitat amb el sistema de numeració egipci.
Podem fer número més gran encara si al 10 li afegim un altre 0, podeu endevinar on? Doncs sí, a la seva dreta. A això també li diem multiplicar per 10. Així obtenim el 100.
El 100 representa una quantitat 10 vegades més gran que 10, però també, una longitud 10 vegades més gran que el 10, i ens permet introduir una idea nova, l’àrea. Multiplicar ens és útil per tenir més coses, fer-les més llargues, i ara també ens serveix per veure l’àrea o la superfície que té un pla.
I també representa les centenes en el nostre sistema de numeració.
El 100 el podem escriure com a 10^2, la cinquena operació després de la suma, resta, multiplicació i divisió. El 10 s’escriu com a 10^1, i l’1 com 10^x? Si, la x=0 en aquest cas.
Amb el 100 podem tenir 100 coses, o corre 100 m com l’Usain Bolt, http://www.masinfografias.com/usain-bolt-infografias/ o viure en un pis de 100m2. Ja podem mesurar les àrees o les superfícies de les coses.
En base 10 un número de tres xifres com el 321 vol dir que està format per 3 centenes (10^2), 2 desenes (10^1) i una unitat (10^0). 321= 3·10^2 + 2·10^1 +1·10^0, així hem escrit el número 321 en forma, que no s’espanti ningú, polinomial.
El sistema binari, que només utilitza 1 i 0 com a xifres també pot construir qualsevol quantitat, en aquest cas com la base del sistema és 2, caldrà utilitzar més xifres i en lloc de 10 farem servir el 2.
321 = 1·256 + 1·64+ 1= 1·2^8 + 1·2^6 + 1·2^0 Escrit en binari seria 101000001.
Podem saber-ne més sobre sistemes de numeració i la seva relació amb la informàtica a http://www.xtec.cat/~voliu/sistemes_numeracio/index.html
En aquest vídeo podem veure el funcionament d'una màquina que permet sumar números escrits en sistema binari.
Però el volum no es mesurava en litres?
Sí, però també podem utilitzar altres unitats, i treballar amb patrons comuns ens ajuda a poder relacionar coses. Podem treballar amb una sola unitat, el m, i així poder relacionar magnituds diferents, d'aquesta manera podem simplificar el sistema, recordeu "la bellesa ..." una de les idees importants de la ciència és la de simplificar al màxim tot el que fem.
I ara que parlem de volums podem relacionar-ho amb el temps d'ompliment a partir d’aquesta activitat d'Anton Aubanell
http://www.xtec.cat/~aaubanel/Fitxes/F22.pdf
Per cert, d’aquest ordre de magnitud, 10^3, és el temps que tarda la llum del Sol en arribar a la terra, 0,49·10^3 s. Quin sol estem veient ara?
Ara avançarem una mica més ràpid en la construcció de grans nombres.
10x1000= 10000. La muntanya més alta del món, l’Everest no arriba a tanta alçada, però a la Terra sí que la trobem, però en sentit contrari, la fossa de les Marianes, només li falten 76 metres per arribar als 11000 metres de profunditat.
10x10000= 100000 o 10^5. Una mica més de les persones que caben al Nou Camp, a Catalunya hi ha 11 ciutats que sobrepassen els 100000 habitants. Hi ha 43 països al món amb menys de 100000 habitants. Comencem a trobar grans contrasts. A IDESCAT podeu trobar les dades de les ciutats catalanes.
10 x 10^5 = 10^6. Arribem a un milió, un número molt gran. El símbol més gran que utilitzaven els egipcis era el d’1 milió, 1 000 000.
Si parlem d'1 milió de segons, de quants dies estem parlant? Quan tardaríem a comptar fins a 1 milió?
Si parlem d’alçades, a aquesta alçada comença l’òrbita mitjana on orbiten els satèl·lits, entre 1000 i 30000 km d’altura i acaba l’òrbita baixa, que ha començat als 100 km, on es troben els moderns satèl·lits de comunicació. Una altra dada molt important, 6,36·10^6 és el radi aproximat del planeta on vivim.
Si afegim un altre 0, tindrem un 1 i set zeros, 10 000 000. Quines coses tenen aquest valor en Euros? Quin és el cost de construir un hospital? I una escola? I una autopista? I una línia d’AVE?
https://elpais.com/economia/2018/02/19/actualidad/1519041070_591214.html
Estem arribant a números molt grans, 10^9 s’acosta als anys que fa que es va formar el sol, la nostra estrella. I també és la distància, en anys-llum, a què tenim les galàxies més llunyanes, la més propera, es troba a 2,32·10^6 anys-llum, per ara.
Un any-llum és la distància que recorre la llum en un any. A quina distància equival en metres?
I ara que parlem d’estels ens podem preguntar quants estels hi ha a la nostra galàxia?
Doncs ja estem arribant a un 1 seguit d'11 zeros. 10^11, 100 000 000 000. 100 mil milions d’estels! I si expressem aquesta quantitat en m, és de l’ordre de la distància de la Terra al Sol.
Ara podem fer una aturada en el camí, atès que parlem de números i distàncies molt grans cal que ens situem una mica.
I el primer documental que va tocar aquest tema:
Un petit recull d'aquestes dades en una taula
https://drive.google.com/file/d/1HnN10fxxeXHlTvv8gj2mVbGy4TzCAsk_/view?usp=sharing
Arribem ara al final del sistema solar, 10^13 m, 10 000 000 000 km a partir d’aquí ens trobem a l’espai interestel·lar. Aquí van arribar les sondes Voyager 1 i 2 llançades fa prop de 40 anys, el 1977. La primera va arribar-hi el 2012 i la segona el 2018.
https://www.bbc.com/mundo/noticias-50303342
Més informació sobre aquesta missió https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/interstellar-mission/
Per cert, quants m hi ha en un any-llum? 10^16 m o 10^13 km.
Seguim afegint zeros i quan arribem al 23 ens apareix un número interessant, el nombre d’Avogadro, 6,023·10^23, és el nombre d’objectes que conté un mol de qualsevol cosa. En química ens indica el nombre d’àtoms o molècules que hi ha en un mol d’una substància
Avancem ara molt més ràpid afegint 0 fins a arribar a un nombre excepcionalment gran, el googol, 10^100, 1 seguit de 100 zeros. I malgrat que és un número molt gran, no s’acosta ni de lluny a l’infinit.
Per fer-vos una idea, es calcula que si poguéssim comptar quants àtoms hi ha a tot l’univers conegut, el nombre resultant seria de l’ordre de 10^80.
I ja n'hi ha prou, malgrat que hi hagi números molt més grans, el googolplex per exemple, però així i tot, encara no s'acosten a l'infinit.
http://www.xtec.cat/~aaubanel/Fitxes/F22.pdf
Per cert, d’aquest ordre de magnitud, 10^3, és el temps que tarda la llum del Sol en arribar a la terra, 0,49·10^3 s. Quin sol estem veient ara?
Ara avançarem una mica més ràpid en la construcció de grans nombres.
10x1000= 10000. La muntanya més alta del món, l’Everest no arriba a tanta alçada, però a la Terra sí que la trobem, però en sentit contrari, la fossa de les Marianes, només li falten 76 metres per arribar als 11000 metres de profunditat.
10x10000= 100000 o 10^5. Una mica més de les persones que caben al Nou Camp, a Catalunya hi ha 11 ciutats que sobrepassen els 100000 habitants. Hi ha 43 països al món amb menys de 100000 habitants. Comencem a trobar grans contrasts. A IDESCAT podeu trobar les dades de les ciutats catalanes.
10 x 10^5 = 10^6. Arribem a un milió, un número molt gran. El símbol més gran que utilitzaven els egipcis era el d’1 milió, 1 000 000.
Si parlem d'1 milió de segons, de quants dies estem parlant? Quan tardaríem a comptar fins a 1 milió?
Si parlem d’alçades, a aquesta alçada comença l’òrbita mitjana on orbiten els satèl·lits, entre 1000 i 30000 km d’altura i acaba l’òrbita baixa, que ha començat als 100 km, on es troben els moderns satèl·lits de comunicació. Una altra dada molt important, 6,36·10^6 és el radi aproximat del planeta on vivim.
Si afegim un altre 0, tindrem un 1 i set zeros, 10 000 000. Quines coses tenen aquest valor en Euros? Quin és el cost de construir un hospital? I una escola? I una autopista? I una línia d’AVE?
https://elpais.com/economia/2018/02/19/actualidad/1519041070_591214.html
Estem arribant a números molt grans, 10^9 s’acosta als anys que fa que es va formar el sol, la nostra estrella. I també és la distància, en anys-llum, a què tenim les galàxies més llunyanes, la més propera, es troba a 2,32·10^6 anys-llum, per ara.
Un any-llum és la distància que recorre la llum en un any. A quina distància equival en metres?
I ara que parlem d’estels ens podem preguntar quants estels hi ha a la nostra galàxia?
Doncs ja estem arribant a un 1 seguit d'11 zeros. 10^11, 100 000 000 000. 100 mil milions d’estels! I si expressem aquesta quantitat en m, és de l’ordre de la distància de la Terra al Sol.
Ara podem fer una aturada en el camí, atès que parlem de números i distàncies molt grans cal que ens situem una mica.
https://drive.google.com/file/d/1HnN10fxxeXHlTvv8gj2mVbGy4TzCAsk_/view?usp=sharing
Arribem ara al final del sistema solar, 10^13 m, 10 000 000 000 km a partir d’aquí ens trobem a l’espai interestel·lar. Aquí van arribar les sondes Voyager 1 i 2 llançades fa prop de 40 anys, el 1977. La primera va arribar-hi el 2012 i la segona el 2018.
https://www.bbc.com/mundo/noticias-50303342
Més informació sobre aquesta missió https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/interstellar-mission/
Per cert, quants m hi ha en un any-llum? 10^16 m o 10^13 km.
Seguim afegint zeros i quan arribem al 23 ens apareix un número interessant, el nombre d’Avogadro, 6,023·10^23, és el nombre d’objectes que conté un mol de qualsevol cosa. En química ens indica el nombre d’àtoms o molècules que hi ha en un mol d’una substància
Avancem ara molt més ràpid afegint 0 fins a arribar a un nombre excepcionalment gran, el googol, 10^100, 1 seguit de 100 zeros. I malgrat que és un número molt gran, no s’acosta ni de lluny a l’infinit.
Per fer-vos una idea, es calcula que si poguéssim comptar quants àtoms hi ha a tot l’univers conegut, el nombre resultant seria de l’ordre de 10^80.
I ja n'hi ha prou, malgrat que hi hagi números molt més grans, el googolplex per exemple, però així i tot, encara no s'acosten a l'infinit.
Llibres interessants
Saps comptar fins a un googol? Wells, Robert. Editorial Juventud
Potències de 10, Morrison&Morrison, Prensa Científica, Ed. Labor