Binomi de Newton, una proposta d'aplicació

 La proposta didàctica consta de les següents fases:

1) Problema previ o d’escalfament.

Aquest cas té a veure amb la relació que hi ha entre l’operació de multiplicar i el càlcul d’àrees de paral·lelograms i també, amb el càlcul mental

a) Relacionem la multiplicació amb el càlcul de l’àrea d’un paral·lelogram

Quina és l’àrea d’un rectangle de costats 4 i 10? A = 4 x 10 = 40

Fem-ne la representació mitjançant un dibuix

b) Multipliquem de diverses maneres fent descomposició numèrica. Per exemple

11 x 17 = 187;  (10 + 1) x 17 = 170 + 17 = 187; (10+1)(10+7)= 100 +70 + 10 + 7 =187  

o (14 -3) (14 + 3) = 196 – 9 = 187

Sense oblidar de connectar l’operació de multiplicar amb el càlcul d’àrees.

Podem representar les anteriors operacions en la següent imatge:

c) Podem demanar als estudiants què mostrin  altres operacions, les que ells decideixen, per tal de poder-les relacionar, amb la idea de relacionar-les amb l’activitat següent,  amb la suma i la resta d’un binomi al quadrat o amb la suma per la diferència

2) El problema

Ara ens plantegem el problema de calcular el valor de (a+b)2, (a-b)2 i (a+b)(a-b).

a) Omplim la taula següent amb diversos exemples. Amb alguns valors de partida i d’altres que s’han d’afegir segons el criteri de la persona que ho faci

a	b	a+b	a-b	(a+b)2	a2 + 2ab + b2	(a-b)2	a2 – 2ab + b2	(a+b)(a-b)	a2 - b2
	1
	2
	3

Què observes? 

Generalitzem. Anem a veure per quin motiu passa això. 

Comparem les següents imatges amb el desenvolupament del binomi. Busquem semblances i diferències. Relacionem-ho amb allò que sabem 

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a-b)2 = a2 – 2ab + b2

3) Què més podem fer a continuació?

i)  Calculem (a+b)3 i (a-b)3.  Fem-ho a partir del que ja sabem, del desenvolupament de (a+b)2 i també de la diferència.

ii) Què passa si ara volem calcular (a+b)4 o (a+b)5?

Iii) Cerca informació sobre el Triangle de Pascal o de Tartaglia. Compara les files d’aquest triangle numèric amb el desenvolupament del Binomi de Newton. Què observes?

Treballem algunes activitats més sobre el triangle. Toca aquí.

4) Generalitzem.

Calculem el desenvolupament de (a+b)n

Per fer-ho ens cal saber coses sobre els nombres combinatoris. Què és un nombre combinatori? Com es poden calcular? 

A partir del que sabem i dels nombres combinatoris, escriu el desenvolupament de (a+b)n

5) Explorem altres relacions

Altres aspectes que podem estudiar a partir del que hem fet:

a) Conjunts numèrics en el triangle de Pascal

b) Recorreguts en una xarxa. I com ampliació la geometria del taxi

c) Resolució d’una equació de 2n grau completant quadrats.

Enllaços d’interès

Math is fun https://www.mathsisfun.com/algebra/binomial-theorem.html

Triangle de Pascal o de Tartaglia https://www.youtube.com/watch?v=DPxIbJ-Rbf4

Combinatòria https://ca.wikipedia.org/wiki/Combinat%C3%B2ria

Triangles d’or http://calaix2.blogspot.com/2014/04/triangles-dor.html