Binomi de Newton, una proposta d'aplicació

 La proposta didàctica consta de les següents fases:

1) Problema previ o d’escalfament.

Aquest cas té a veure amb la relació que hi ha entre l’operació de multiplicar i el càlcul d’àrees de paral·lelograms i també, amb el càlcul mental

a) Relacionem la multiplicació amb el càlcul de l’àrea d’un paral·lelogram

Quina és l’àrea d’un rectangle de costats 4 i 10? A = 4 x 10 = 40

Fem-ne la representació mitjançant un dibuix

b) Multipliquem de diverses maneres fent descomposició numèrica. Per exemple

11 x 17 = 187;  (10 + 1) x 17 = 170 + 17 = 187; (10+1)(10+7)= 100 +70 + 10 + 7 =187  

o (14 -3) (14 + 3) = 196 – 9 = 187

Sense oblidar de connectar l’operació de multiplicar amb el càlcul d’àrees.

Podem representar les anteriors operacions en la següent imatge:

c) Podem demanar als estudiants què mostrin  altres operacions, les que ells decideixen, per tal de poder-les relacionar, amb la idea de relacionar-les amb l’activitat següent,  amb la suma i la resta d’un binomi al quadrat o amb la suma per la diferència

2) El problema

Ara ens plantegem el problema de calcular el valor de (a+b)2, (a-b)2 i (a+b)(a-b).

a) Omplim la taula següent amb diversos exemples. Amb alguns valors de partida i d’altres que s’han d’afegir segons el criteri de la persona que ho faci

a	b	a+b	a-b	(a+b)2	a2 + 2ab + b2	(a-b)2	a2 – 2ab + b2	(a+b)(a-b)	a2 - b2
	1
	2
	3

Què observes? 

Generalitzem. Anem a veure per quin motiu passa això. 

Comparem les següents imatges amb el desenvolupament del binomi. Busquem semblances i diferències. Relacionem-ho amb allò que sabem 

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a-b)2 = a2 – 2ab + b2

3) Què més podem fer a continuació?

i)  Calculem (a+b)3 i (a-b)3.  Fem-ho a partir del que ja sabem, del desenvolupament de (a+b)2 i també de la diferència.

ii) Què passa si ara volem calcular (a+b)4 o (a+b)5?

Iii) Cerca informació sobre el Triangle de Pascal o de Tartaglia. Compara les files d’aquest triangle numèric amb el desenvolupament del Binomi de Newton. Què observes?

Treballem algunes activitats més sobre el triangle.

4) Generalitzem.

Calculem el desenvolupament de (a+b)n

Per fer-ho ens cal saber coses sobre els nombres combinatoris. Què és un nombre combinatori? Com es poden calcular? 

A partir del que sabem i dels nombres combinatoris, escriu el desenvolupament de (a+b)n

5) Explorem altres relacions

Altres aspectes que podem estudiar a partir del que hem fet:

a) Conjunts numèrics en el triangle de Pascal

b) Recorreguts en una xarxa. I com ampliació la geometria del taxi

c) Resolució d’una equació de 2n grau completant quadrats.

Enllaços d’interès

Math is fun https://www.mathsisfun.com/algebra/binomial-theorem.html

Triangle de Pascal o de Tartaglia https://www.youtube.com/watch?v=DPxIbJ-Rbf4

Combinatòria https://ca.wikipedia.org/wiki/Combinat%C3%B2ria

Triangles d’or http://calaix2.blogspot.com/2014/04/triangles-dor.html