Els nombres primers han fascinat matemàtics, escriptors i científics durant segles. Són aquells nombres naturals que només es poden dividir per ells mateixos i per la unitat, com ara 2, 3, 5, 7, 11 o 13, són el que tenen 2 divisors. La seva aparició aparentment aleatòria ha inspirat múltiples teories i aplicacions.
Nombres primers en la cultura
En la novel·la Contact de Carl Sagan (posteriorment adaptada al cinema), els nombres primers es plantegen com un mitjà de comunicació universal entre civilitzacions extraterrestres.
A més, en El curiós incident del gos a mitjanit, els capítols estan numerats exclusivament amb nombres primers, afegint un element matemàtic a la narració. També se n'ha fet una representació teatral.
Com saber si un nombre és primer?
Una manera senzilla de determinar si un nombre relativament petit és primer és mitjançant el garbell d'Eratòstenes, un mètode eficient per trobar nombres primers fins a un determinat valor. Una altra eina útil és l'aplicació de @acgeogebra d'Albert Garcia, que proporciona informació detallada sobre aquests nombres.
Un teorema interessant
Hi ha un teorema, fets provats, que afirma que si un nombre p és primer, la divisió (2p−2)/p és exacta, és a dir, el residu és 0. Podem comprovar-ho amb exemples com 5, 7 i 11, i també utilitzar-lo per demostrar que 21 no és primer.
Preguntes per reflexionar:
Aquest teorema ens ajuda a determinar si 2021 és primer?
Com podríem trobar el següent any que sigui primer?
Curiositats matemàtiques
Si observem els quadrats de determinats nombres primers:
52-1 = 1x24
72-1 = 2x24
112-1= 5x24
132-1= 7x24
172-1 = 12x24
S'observa una relació especial amb el 24. Aquest patró es compleix per tots els nombres primers excepte 2 i 3?
La conjectura d'Euler
Leonhard Euler va proposar la següent expressió per generar nombres primers: n2 - n + 41
Prova de substituir diferents valors de n i comprova si els resultats són primers. Aquesta conjectura és certa per sempre o es troben excepcions?
Una manera de comprovar si una conjectura és certa o no és trobar-ne un contraexemple. En el cas anterior, 41 en seria un contraexemple de la conjectura.
La famosa conjectura de Goldbach
Christian Goldbach va formular la seva conjectura en una carta a Euler el 1742:
"Cada nombre parell més gran o igual a 4 es pot expressar com la suma de dos nombres primers."
Prova-ho amb diferents nombres parells (per exemple, 14, 28, 36 i 52) i intenta expressar-los com la suma de dos primers.
Hi ha un llibre de lectura molt recomanable: “L’oncle Petros i la conjectura de Goldbach” on la conjectura i té un paper clau.
I també podeu consultar el següent vídeo Eduardo Saenz de Cabezón sobre el tema: https://youtu.be/oCoSwlEDPeM?si=9P3z2jIv97vCihvc
Quantitat de nombres primers
Els matemàtics han comprovat que la quantitat de nombres primers menors o iguals que un nombre n es pot aproximar amb la funció: P(n)≈0.4343*n/ log n
Fes servir aquesta expressió per estimar quants nombres primers hi ha fins a 1000, 10.000, 100.000 o fins i tot 1018.
Podeu completar la taula següent per veure com s’aplica la fórmula:
Exploracions addicionals
Si ens fascinen els nombres primers, podem investigar més sobre:
Tipus de nombres primers (germans, bessons, de Mersenne...)
Algorismes de factorització
Aplicacions en criptografia
Nombres primers a la natura
Els nombres primers segueixen sent un dels grans misteris de les matemàtiques, i cada dia es fan nous descobriments. Estem preparats per explorar-los?
Comentaris
Publica un comentari a l'entrada