Són les matemàtiques de l'ESO bàsiques i poc profundes?

Sovint es diu que les matemàtiques de l'ESO són bàsiques i poc profundes. Però, ho són realment? En aquest article, explorarem com un material aparentment senzill, el geoplà, pot esdevenir una eina rica per desenvolupar processos i sabers matemàtics de gran profunditat.

1. El geoplà com a catalitzador

El geoplà és un material didàctic ideat per Caleb Gattegno, matemàtic egipci. Se'n poden trobar de diversos tipus:

• Ortogonal

• Isomètric

• Circular

Existeixen recursos digitals com els de The Maths Learning Center o NRich, que permeten treballar-hi en entorns virtuals. Però més enllà del material, ens interessa què poden fer-hi els estudiants per desenvolupar la seva capacitat matemàtica. Per fer-ho, han de:

1. Observar i manipular (experimentar)

2. Relacionar (comparar)

3. Construir (crear i avaluar)

2. Exploracions en un geoplà 3x3

Podem construir polígons de 3 a 7 costats. Ens plantegem preguntes com:

• Quants polígons diferents de cada tipus podem construir?

• Quan dos polígons de tres costats són diferents?

• Quins criteris fem servir per classificar-los?

També:

• És possible construir un polígon de 8 o més costats en un geoplà 3x3?

• Quin és el nombre màxim de costats?

• Podem generalitzar-ho a un geoplà nxn?

Quin és el nombre màxim de costats que pot tenir un polígon en aquest geoplà?

Què hem fet que ens dona les idees necessàries per poder-ho afirmar? 

Per exemple, hem observat alguna pauta?

3. Modelització matemàtica a l'aula

Treballar la modelització amb l’alumnat és fonamental, i cal fer-ho com més aviat millor. El procés inclou:

1. Formular preguntes sobre situacions

2. Recollir, analitzar i interpretar dades

3. Generar un model (gràfics, equacions o ambdós)

Aquest model permet fer previsions i validar-les. Un exemple pot ser l'activitat de NRICH: What's the problem?, on es desenvolupen habilitats com seleccionar, analitzar, raonar, representar o crear relacionada amb aquesta activitat. En aquest tipus d'activitat es desenvolupen diverses capacitats:

Buscar, seleccionar, reconèixer, analitzar, planificar, utilitzar, contrastar, traduir, generar, representar, provar, raonar, gestionar, avaluar i crear.

4. Perímetres, àrees i el Teorema de Pick

Amb un geoplà 5x5:

• Dibuixem polígons amb un perímetre fix (ex. 12 unitats). Podem fer triangles?

• Cerquem tots els polígons amb àrea 2

A partir d'aquí, introduïm el Teorema de Pick, que relaciona l'àrea d'un polígon amb:

• El nombre de punts a la vora (b)

• El nombre de punts a l’interior (i)

Formulem, generalitzem i comprovem empíricament la relació:

$$A=i+b/2−1

Això ens permet també vincular-lo amb el Teorema de Pitàgores: quants triangles rectangles podem construir? Amb quines relacions?

5. Més enllà del geoplà ortogonal

a) Geoplà isomètric

• Investigacions a partir de patrons, dissenys triangulars i hexagonals.

• Exemple de recursos: aplicació de l’ARC, material interactiu amb GeoGebra

Com podeu veure a la imatge, l'autor d'aquest geoplà utilitzant el geogebra @acgeogebra és l'enyorat Pep Bujosa.

b) Geoplà circular

De quantes maneres diferents podem unir els 6 punts? Quins continguts matemàtics descobrim en aquesta activitat?

• Unir punts amb rectes sense aixecar el llapis, una sola vegada.

• Quins patrons apareixen?

• Es poden vincular amb aritmètica modular i polígons estrellats

• Com s'obtenen els dissenys d’envoltants? Què passa si unim el punt $n$ amb $2n$, $3n$...?

6. I, al final, què direm?

Encara pensem que les matemàtiques de l'ESO són bàsiques i poc profundes?

Hem treballat:

• Processos matemàtics: resolució de problemes, raonament i prova, representació, comunicació i hem fet connexions

• Sabers diversos: sentit numèric, mesura, geometria, àlgebra i modelització.

I ho hem fet amb calma, investigant, formulant conjectures, generalitzant.

Si reduïm les matemàtiques a resoldre equacions amb una fórmula o calcular volums amb dades donades, estem traient-los la seva veritable riquesa. A l’educació matemàtica cal aprofundir-hi.

Treballar amb eines com el geoplà ens ho permet. I molt més.

---

Aquest article forma part d’una reflexió sobre les possibilitats reals del currículum de matemàtiques a l’ESO. No és que les matemàtiques siguin poc profundes. És que cal saber com treballar-les.