Són les matemàtiques de l'ESO bàsiques i poc profundes com ens volen fer creure?

Un viatge amb el geoplà per descobrir la riquesa i la profunditat del currículum matemàtic

Cada cert temps sorgeix la mateixa pregunta: “Són les matemàtiques que impartim a l’ESO massa bàsiques, massa superficials?” La millor manera de respondre-la és posar-les a prova. En aquest article et proposo fer-ho a partir d’un material senzill —el geoplà— i veure fins on podem arribar connectant-lo amb el currículum i amb processos matemàtics d’alt nivell.

Què és un geoplà?

El geoplà, ideat pel matemàtic egipci Caleb Gattegno, és una placa, de fusta o de plàstic, amb pius disposats en una graella regular sobre la qual podem tensar gomes per dibuixar figures. Amb ell l’alumnat pot experimentar amb àrees, perímetres, simetries i patrons d’una manera tangible i visual.

Coses que podem fer amb els geoplans.

Primer, classificar-los.

Tipus habituals de geoplans:

• Ortogonal
• Isomètric (triangular/hexagonal)
• Circular

Alguns recursos digitals que poden ser útils per començar:

• Geoboard, by The Math Learning Center 
• Virtual Geoboard, NRICH

Ens interessa sobretot conèixer que poden fer els estudiants amb ells per desenvolupar les seves capacitats matemàtiques.

Per a ells volem que desenvolupin les accions següents: Observar i manipular (Experimentar), Relacionar (Comparar) i Construir (Crear i Avaluar).

Primer contacte: el geoplà 3×3

Comencem per intentar desencadenar grans preguntes.

Construcció i classificació de polígons

1. Construeix tots els polígons de 3, 4, 5, 6 i 7 costats que puguis.

2. Quantifica: quants de cada mena has trobat?

3. Classifica: quan considerem diferents dos triangles? I dos quadrilàters? Com ho faràs?

Preguntes per continuar

• Podem construir un polígon de 8 costats? I de més? Quin és el màxim nombre de costats possible i per què?

• Quines estratègies de recompte sistemàtic necessitem?

• Has trobat alguna pauta?

Cap a la generalització

• Repetim la investigació en un geoplà 4×4 i 5×5.

• Generalitzem: què passa en un geoplà nxn?

Modelització: del problema a l’equació

El treball amb geoplans és un escenari excel·lent per introduir un cicle de modelització:

1. Formulem preguntes sobre situacions
2. Elaborem un pla de recollida de dades, les analitzem i interpretem els resultats per donar resposta a la pregunta (conclusions) i el portem a la pràctica.
3. Generem un model. Pot estar format per gràfics, taules i equacions. Model que ens ha de permetre interpretar la situació  i fer previsions que, si no es validen, porten a canviar-lo o a millorar-lo.

Activitat que permet relacionar una situació amb el gràfic i l'equació que els representen com a model: Quin gràfic i equació correspon a cada situació?

Recursos: https://nrich.maths.org/6500

En aquesta activitat es desenvolupen diverses capacitats:

Buscar, seleccionar, reconèixer, analitzar, planificar, utilitzar, contrastar, traduir, generar, representar, provar, raonar, gestionar, avaluar i crear.

Bàsiques i poc profundes? Potser. Però seguim.

Àrea i perímetre en profunditat: el Teorema de Pick

Àrea i perímetre a partir de polígons en un geoplà 5x5.

Dibuixem polígons al geoplà, de manera que tots ells tinguin perímetre de 12 unitats.

És possible construir triangles que tinguin aquest perímetre?

Cerquem tots els polígons que tinguin àrea 2.

Ataquem un Teorema: Teorema de Pick

https://gaussianos.com/el-teorema-de-triar/…

El Teorema de Pick permet calcular l’àrea d’un polígon amb vèrtexs en punts de la graella comptant només punts interiors (i) i punts a la vora (b):  

A = i + b/2 -1

Iniciem una investigació guiada

A la figura anterior, veiem 12 punts a la vora i un punt a l'interior. 

1. Dibuixa polígons amb perímetre 12 i un punt a dins sobre un geoplà 5×5. Tots tenen la mateixa àrea? Què passa si canviem el nombre de punts que hi ha a l’interior? Des d’1 fins a …? Quins és el nombre màxim de punts que hi podrem col·locar?

2. Busca tots els polígons d’àrea 2.

3. Explora la relació exacta A(i,b) validant Pick.

Pots obtenir orientació consultant aquesta pàgina: https://tiopetrus.blogia.com/2005/022501-el-teorema-de-pick.php…

Del geoplà a Pitàgores

I també podem utilitzar-lo per estudiar el teorema de Pitàgores i trobar relacions o

establir comprovacions. Quants triangles rectangles podem obtenir? Quin és el valor de les vostres hipotenuses? Quines relacions podem establir entre els diferents triangles que anem trobant? I també podem desenvolupar l'activitat relacionant Pitàgores i Pick.

Bàsiques i poc profundes?

Fins ara estem treballant els processos matemàtics de resolució de problemes, de raonament i prova, comunicant i fent servir representacions diverses. I també estem connectant continguts de diversos blocs matemàtics.

• Del sentit numèric, establir patrons i regularitats numèriques, per exemple, o estratègies variades de recompte sistemàtic.
• Del sentit de la mesura, longituds i àrees.
• Del sentit espacial la modelització geomètrica.
• Del sentit algebraic, l'ús de patrons i models.

Més enllà: isomètric i circular

Geoplà isomètric

Realitzar investigacions a partir de preguntes semblants al geoplà isomètric. Aquest ens permetrà, a més, entrar a les representacions 3D dels objectes. O a l'estudi de poli diamants.

https://apliense.xtec.cat/arc/node/1295

https://geogebra.org/m/JUvsTRTg#material/EQgAMpvV

Com podeu veure a la imatge. L'autor d'aquest geoplà utilitzant el geogebra @acgeogebra és l'enyorat Pep Bujosa.

Geoplà circular

I amb el geoplà circular podem entrar de ple als dissenys circulars.

De quantes maneres diferents podem unir els 6 punts?

Només podem utilitzar línies rectes, sense aixecar el llapis del paper i passant només una vegada per cada punt.

• Quins continguts matemàtics descobrim en aquesta activitat?
• I treballar la divisibilitat o l'aritmètica de rellotge amb polígons estrellats.
• I plantejar el problema al revés.
• Quantes línies n'hem dibuixat?
• I si partim de 16 punts, quantes línies dibuixarem?

Estem modelitzant.

Què obtenim quan unim el punt n amb el 2n? I el n amb el 4t? I si unim n amb ...

I podem posar fi al dibuix d'envoltants.

Com s'obté la figura de la imatge?

I segur que se'ns acudeixen moltes més possibilitats.

I per acabar, dubto molt que les Matemàtiques de l'ESO, i les de Primària, també tinguin una mica poc profundes. Bàsiques ho són en el sentit que són fonamentals.

Hem treballat 

• Dissenys circulars i polí­gons estrellats.

• Aritmètica de rellotge i divisibilitat.

• Àlgebra i models matemàtics

• Problemes inversos: quantes línies es dibuixen? Quin procés genera la figura estrella coneguda?

Competències desenvolupades

Treballant amb geoplans posem en joc totes les competències específiques de matemàtiques:

• Resolució de problemes i modelització.

• Raonament i prova.

• Comunicació i representació (gràfics, taules, llenguatge algebraic).

• Connexions entre sentits numèric, mesurament, espacial i algebraic.

Bàsiques i poc profundes? El geoplà demostra just el contrari: amb eines aparentment simples podem assolir una gran profunditat conceptual si plantegem bones preguntes i oferim temps per a la investigació.

I cal fer el treball amb molta calma i amb profunditat.

Si només procurem que resolguin algunes equacions i sistemes, operin amb fraccions, descomponguin números en factors primers o calculin àrees o volums, i sempre utilitzant fórmules ja donades estem donant a l'educació matemàtica dels nostres estudiants poca profunditat i complexitat.

Ens estarem quedant a la superfície de l'educació matemàtica, cosa, per cert, és el que passa des que jo era estudiant i que mostren totes les dades rellevants.

Les matemàtiques de l’ESO i de Primària són fonamentals —sí—, però no per això han de ser superficials. Depèn de la riquesa de les tasques i de l’actitud investigadora que fomentem.