El fractal de Fibonacci: quan els patrons es converteixen en pensament

Aquest repte parteix d’una figura tan simple com un triangle rectangle isòsceles, però amaga dins seu una de les idees més fascinants de la matemàtica: el creixement per patrons. A mesura que la figura es transforma fase rere fase, apareix de manera natural la successió de Fibonacci, no com una fórmula a memoritzar, sinó com un descobriment que neix de l’observació, del recompte i de la interpretació. L’activitat convida l’alumnat a construir, experimentar, equivocar-se i tornar-ho a provar. A través del treball amb paper i amb eines digitals com Geogebra oScratch, els i les alumnes investiguen àrees, perímetres, semblances i transformacions geomètriques, mentre desenvolupen competències de raonament, modelització i comunicació matemàtica. Més que una tasca sobre fractals, és una situació per entendre que les matemàtiques no són només càlcul, sinó estructura, llenguatge i creativitat.

ACTIVITAT

Aquest fractal va ser descobert, creat o dissenyat, per George W. Grossman el 1997.
El punt de partida és un triangle rectangle isòsceles, la llavor del fractal.
L'altra figura mostra la primera fase en la construcció del fractal.

Per fer la següent figura, la de la fase 2, eliminem del triangle més gran de la figura anterior una quarta part. Sempre apliquem les divisions als triangles més grans i com a resultat obtindrem triangles de dues mides, els grans de color blau i els petits de color vermell.

En la fase 3, els triangles blaus es descomponen en dos triangles, un de gran i un de petit.

Apareixen 3 triangles grans i 2 de petits.

La seqüència de Fibonacci va apareixent en cada fase de la construcció del fractal, cal comptar els grups de triangles.

Fase 4 i 5 de la construcció del fractal.

Aquí es pot veure una animació de la construcció fins a la fase 5. https://x.com/i/status/1258460863410962441

Quines activitats podem fer:

Quants triangles de cada classe formen la fase 6 del fractal? Construeix-la amb paper
Quants en farien falta per arribar a la fase 10?
Utilitza el Geogebra o l’scratch, en funció del que dominis més, per construir un model digital d'aquest fractal.
Estudiem l'àrea i el perímetre de les diferents fases en relació amb la llavor, el triangle inicial.

Quina és l'àrea i el perímetre de cada fase del fractal?
Comparem-les entre si, que observem?

Podem fer un estudi semblant respecte dels forats que van apareixent

En aquest repte apareixen les àrees i els perímetres, els nombres racionals expressats en forma de fraccions, decimals o percentatges, Teorema de Pitàgores i nombres irracionals, semblança de triangles i patrons numèrics. A banda de tots els processos matemàtics.

Podem fer més coses, combinar objectes o situacions o aplicar-hi reflexions i girs.

Per fer-ho ens caldrà identificar objectes, comparar-los i establir transformacions. Tres tipus de tasques clau en l'aprenentatge.