Quan pensem en equacions de segon grau, solem imaginar fórmules ben escrites, símbols perfectament alineats i algun record d’aula. Però molt abans que existís cap “fórmula”, a Mesopotàmia ja es resolien problemes que avui ens semblen sorprenentment moderns. En una tauleta d’argila babilònica es va trobar aquest enunciat:
«La longitud d’un rectangle és 7 unitats més gran que l’amplada. La seva àrea és 60. Trobeu la longitud i l’amplada.»
El procediment que seguien era:
a) Dividir 7 entre 2 = 3,5
b) Multiplicar 3,5 per 3,5 = 12,25
c) Afegir 60 a 12,25 = 72,25
d) Trobar l’arrel quadrada de 72,25 = 8,5
e) Sumar i restar 3,5 a 8,5
f) Longitud = 12 i amplada = 5
Aquesta seqüència tan elemental amaga una petita joia: els babilonis estaven resolent una equació de segon grau.
x² + 7x = 60
mitjançant un procediment que, mil·lennis després, reconeixeríem com completar el quadrat.
Dues puntualitzacions importants:
a) Treballaven en base 60.
b) Els paràmetres havien de ser positius, cosa que explica per què no contemplaven l’arrel negativa.
En la tauleta també es troben solucions per equacions més generals, del tipus ax2 + bx = c
Travessant deserts i biblioteques: Al-Khwarizmi
Problemes similars reapareixen més tard en la matemàtica àrab. Al-Khwarizmi descriu sis tipus d’equacions i explica com resoldre-les amb instruccions igual de precises. Per exemple, per a:
x² + 10x = 39
proposava:
a) Dividir el coeficient de les arrels per dos = 5
b) Multiplicar-lo per ell mateix = 25
c) Sumar 25 i 39 = 64
d) Fer-ne l’arrel quadrada = 8
e) Restar 5 = 3
I seguia endavant, sense donar cabuda a cap solució negativa. El món simbòlic encara havia de néixer.
De l’argila al paper: dos camins per al mateix problema
A partir d’aquests exemples es pot generalitzar el procediment: és el camí que ens porta a completar quadrats. I des d’aquí es pot arribar a l’algoritme habitual per resoldre equacions de segon grau del tipus:
ax² + bx + c = 0
Per tant, en l’ensenyament actual disposem d’almenys dues maneres complementàries d’afrontar-les: la via geomètrica-històrica i la via algebraico-simbòlica.
No cal esperar que l’alumnat dedueixi la fórmula general, però sí que han de poder explicar el procés, el sentit del que estan fent i com es connecten els passos. Entendre la lògica és més valuós que conèixer una versió memoritzada.
Una invitació per a l’aula
Proposta d’activitat per treballar l'obtenció de la fórmula anterior:
https://docs.google.com/document/d/1OWzAefAOADS9MkdpWJTwATXWlMmH4pqU9SS6dhFL950/edit?usp=sharing
Si algun estudiant arriba espontàniament a la fórmula general, tan millor. No cal posar límits allà on hi ha curiositat.
Les activitats babilòniques o àrabs, amb un to més numèric i algorísmic, són perfectes a Cicle Superior. Les més abstractes i generalitzadores es poden reservar per cursos avançats on els estudiants han adquirit més autonomia. Però abans cal preparar el terreny, sembrar intuïcions, donar temps perquè les idees arrelin.
I un últim pensament
La història de les matemàtiques ens recorda que res del que fem a classe neix del no-res. Les tècniques que avui ens semblen “modernes” sovint són camins antics, repicats a través de moltes cultures. I quan una classe descobreix com treballaven els babilonis, l’aula sencera es transforma una mica: ja no només estan resolent equacions, sinó entrant en un diàleg mil·lenari.
Hem de pensar que la matemàtica també és cultura. Mirar com els babilonis completaven quadrats o com Al-Khwarizmi classificava equacions no és només aprendre una tècnica; és reconèixer un fil que ens connecta amb altres èpoques i maneres de pensar. A través d’aquests exemples, la matemàtica mostra el seu valor formatiu: ensenya a raonar, però també a comprendre que formem part d’una tradició intel·lectual que ha anat modelant el món. Conèixer aquests episodis amplia la mirada i ajuda l’alumnat a entendre que el saber no només serveix per resoldre problemes, sinó per situar-se culturalment dins d’una història compartida.
Referències
George Gheverghese Joseph. La cresta del pavo real. Ed. Pirámide
Richard Brown. 50 Teorías matemáticas. Ed. Blume
Grupo Azarquiel. Ideas y actividades para enseñar álgebra. Ed. Síntesis
Iolanda Guevara. Història de les Matemàtiques
http://xtec.cat/sgfp/llicencies/200809/memories/1864m.pdf
Comentaris
Publica un comentari a l'entrada